الأعدادالمركبة(الأعدادالعقدية)هيأحدأهمالمفاهيمفيالرياضياتالحديثة،حيثتمثلتوسيعًالمجموعةالأعدادالحقيقية.فيهذاالمقال،سنستعرضتعريفالأعدادالمركبة،خصائصهاالأساسية،تمثيلهاالبياني،وكيفيةإجراءالعملياتالحسابيةعليها.الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

تعريفالأعدادالمركبة

العددالمركبهوأيعدديمكنكتابتهعلىالصورة:
z=a+bi
حيث:
-aوbأعدادحقيقية
-iهيالوحدةالتخيليةالتيتحققالمعادلةi²=-1

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

يُسمىaبـ"الجزءالحقيقي"للعددالمركب،بينمايُسمىbبـ"الجزءالتخيلي".

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

التمثيلالبيانيللأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالأعدادالمركبةعلىالمستوىالمركب(مستوىأرجاند)،حيث:
-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي
-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

بهذهالطريقة،يصبحكلعددمركبنقطةعلىهذاالمستوى.

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة

1.الجمعوالطرح

لجمعأوطرحعددينمركبين،نجمع/نطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل:
(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

2.الضرب

يتمضربالأعدادالمركبةباستخدامخاصيةالتوزيعمعتذكرأنi²=-1:
(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=(ac-bd)+(ad+bc)i

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

3.القسمة

لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام:
(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/(c²+d²)

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

الصيغةالقطبيةللأعدادالمركبة

يمكنالتعبيرعنالعددالمركبباستخدامالإحداثياتالقطبية:
z=r(cosθ+isinθ)
حيث:
-rهوالمقياس(طولالمتجهمنالأصلإلىالنقطة)
-θهيالزاوية(الوسيطة)

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

هذهالصيغةمفيدةخاصةفيعملياتالضربوالأسس.

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

تطبيقاتالأعدادالمركبة

للأعدادالمركبةتطبيقاتواسعةفي:
-الهندسةالكهربائية(تحليلالدوائرالمتناوبة)
-الفيزياء(ميكانيكاالكم)
-معالجةالإشارات
-الرسوماتالحاسوبية

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

الخلاصة

الأعدادالمركبةهيأداةرياضيةقويةتوسعنطاقالأعدادالحقيقية.بفهمأساسياتهاوتمثيلاتهاالمختلفة،يمكنحلالعديدمنالمسائلالمعقدةفيالرياضياتوالعلومالتطبيقية.

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

مقدمةعنالأعدادالمركبة

الأعدادالمركبة(الأعدادالعقدية)هيأعدادتتكونمنجزأين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.تُكتبعادةًعلىالصورةa+bi،حيث:
-aهوالجزءالحقيقي
-bهوالجزءالتخيلي
-iهيالوحدةالتخيلية،حيثi²=-1

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

تعتبرالأعدادالمركبةامتدادًاللأعدادالحقيقيةوتلعبدورًاأساسيًافيالعديدمنالمجالاتمثلالهندسةالكهربائية،الفيزياء،ومعالجةالإشارات.

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

خصائصالأعدادالمركبة

1. الجمعوالطرح:
   عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل.
   مثال:
   (3+2i)+(1+4i)=(3+1)+(2+4)i=4+6i

   الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

2. الضرب:
   لضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعونأخذفيالاعتبارأنi²=-1.
   مثال:
   (2+3i)×(1+2i)=2×1+2×2i+3i×1+3i×2i=2+4i+3i+6i²=2+7i+6(-1)=-4+7i

   الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

3. القسمة:
   لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(يتمتغييرإشارةالجزءالتخيلي).
   مثال:
   (1+i)/(1-i)=[(1+i)(1+i)]/[(1-i)(1+i)]=(1+2i+i²)/(1-i²)=(1+2i-1)/(1-(-1))=(2i)/2=i

   الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالعددالمركبa+biكنقطةفيالمستوىالإحداثي(يسمىمستوىالأعدادالمركبةأومستوىغاوس)،حيث:
-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي(a)
-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي(b)

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

هذاالتمثيليساعدفيفهمالعملياتمثلالجمعوالضربهندسيًا.

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

تطبيقاتالأعدادالمركبة

1. الهندسةالكهربائية:تُستخدملتحليلالدوائرالكهربائيةالتيتعملبالتيارالمتردد(AC).
2. معالجةالإشارات:تساعدفيتحليلالإشاراتوالموجاتباستخدامتحويلفورييه.
3. الفيزياءالكمية:تلعبدورًاأساسيًافيمعادلاتميكانيكاالكم.

الخلاصة

الأعدادالمركبةهيأداةرياضيةقويةتمتدبهامفاهيمالأعدادالحقيقية.منخلالفهمأساسياتهاوتطبيقاتها،يمكنحلمشكلاتمعقدةفيمختلفالمجالاتالعلميةوالهندسية.

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

إذاكنتترغبفيتعميقفهمكللأعدادالمركبة،يُنصحبممارسةتمارينمختلفةواستكشافتطبيقاتهاالعمليةفيتخصصك!

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط